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From: Bayesian Models for Astrophysical Data, Cambridge Univ. Press

(c) 2017,  Joseph M. Hilbe, Rafael S. de Souza and Emille E. O. Ishida

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Code 8.21 Bayesian random intercept negative binomial mixed model in Python using pymc3

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import numpy as np
import pymc3 as pm
import statsmodels.api as sm

from scipy.stats import norm, uniform, nbinom

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# Data
np.random.seed(1656)                                                                       # set seed to replicate example
N = 2000                                                                                            # number of obs in model
NGroups = 10

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x1 = uniform.rvs(size=N)
x2 = uniform.rvs(size=N)

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Groups = np.array([200 * [i] for i in range(NGroups)]).flatten()
a = norm.rvs(loc=0, scale=0.5, size=NGroups)
eta = 1 + 0.2 * x1 - 0.75 * x2 + a[list(Groups)]
mu = np.exp(eta)

y = nbinom.rvs(mu, 0.5)

with pm.Model() as model:
# Define priors
alpha = pm.Uniform('sigma', 0, 100)
sigma_a = pm.Uniform('sigma_a', 0, 10)
beta1 = pm.Normal('beta1', 0, sd=100)
beta2 = pm.Normal('beta2', 0, sd=100)
beta3 = pm.Normal('beta3', 0, sd=100)

# priors for random intercept (RI) parameters
a_param = pm.Normal('a_param',
np.repeat(0, NGroups),                                                 # mean
sd=np.repeat(sigma_a, NGroups),                                # standard deviation
shape=NGroups)                                                           # number of RI parameters

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eta = beta1 + beta2*x1 + beta3*x2 + a_param[Groups]

# Define likelihood
y = pm.NegativeBinomial('y', mu=np.exp(eta), alpha=alpha, observed=y)

# Fit
start = pm.find_MAP()                                                                    # Find starting value by optimization
step = pm.NUTS(scaling=start)                                                           # Initiate sampling
trace = pm.sample(7000, step, start=start)

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# Print summary to screen
pm.summary(trace)

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Output on screen:

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beta1:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
1.047            0.171            0.005            [0.720, 1.404]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
0.707          0.937          1.048          1.153          1.397

beta2:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
0.216            0.072            0.001            [0.082, 0.364]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
0.076          0.168          0.216          0.264          0.359

beta3:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
-0.822           0.073            0.001            [-0.959, -0.670]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
-0.968         -0.870         -0.821         -0.773         -0.678

a_param:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
0.343            0.172            0.005            [-0.009, 0.675]
0.238            0.173            0.005            [-0.096, 0.593]
0.103            0.175            0.005            [-0.243, 0.458]
-0.984           0.182            0.005            [-1.350, -0.631]
0.195            0.173            0.005            [-0.144, 0.544]
-0.328           0.176            0.005            [-0.682, 0.030]
0.224            0.172            0.005            [-0.126, 0.556]
0.452            0.172            0.005            [0.090, 0.784]
0.081            0.173            0.005            [-0.279, 0.412]
-0.302           0.174            0.005            [-0.671, 0.024]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
-0.004         0.235          0.342          0.453          0.682
-0.110         0.128          0.239          0.347          0.582
-0.247         -0.007         0.103          0.212          0.455
-1.353         -1.099         -0.981         -0.865         -0.632
-0.154         0.085          0.195          0.304          0.537
-0.688         -0.440         -0.328         -0.215         0.026
-0.120         0.115          0.223          0.334          0.568
0.101          0.342          0.452          0.560          0.797
-0.269         -0.029         0.079          0.192          0.424
-0.652         -0.414         -0.300         -0.192         0.048

sigma:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
2.456            0.183            0.006            [2.118, 2.824]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
2.134          2.329          2.446          2.570          2.854

sigma_a:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
0.507            0.151            0.003            [0.273, 0.807]

â€‹

Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
0.306          0.404          0.476          0.575          0.893

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