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From: Bayesian Models for Astrophysical Data, Cambridge Univ. Press

(c) 2017,  Joseph M. Hilbe, Rafael S. de Souza and Emille E. O. Ishida

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Code 8.13 Bayesian random intercept Poisson model in Python

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import numpy as np
import pymc3 as pm

from scipy.stats import norm, uniform, poisson

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# Data
np.random.seed(1656)                                                     # set seed to replicate example
N = 2000                                                                          # number of obs in model
NGroups = 10

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x1 = uniform.rvs(size=N)
x2 = uniform.rvs(size=N)

Groups = np.array([200 * [i] for i in range(NGroups)]).flatten()

a = norm.rvs(loc=0, scale=0.5, size=NGroups)
eta = 1 + 0.2 * x1 - 0.75 * x2 + a[list(Groups)]

mu = np.exp(eta)

y = poisson.rvs(mu, size=N)

with pm.Model() as model:
# Define priors
sigma_a = pm.Uniform('sigma_a', 0, 100)
beta1 = pm.Normal('beta1', 0, sd=100)
beta2 = pm.Normal('beta2', 0, sd=100)
beta3 = pm.Normal('beta3', 0, sd=100)

# priors for random intercept (RI) parameters
a_param = pm.Normal('a_param',
np.repeat(0, NGroups),                                           # mean
sd=np.repeat(sigma_a, NGroups),                         # standard deviation
shape=NGroups)                                                    # number of RI parameters

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eta = beta1 + beta2*x1 + beta3*x2 + a_param[Groups]

# Define likelihood
y = pm.Poisson('y', mu=np.exp(eta), observed=y)

# Fit
start = pm.find_MAP()                                                                 # Find starting value by optimization
step = pm.NUTS(scaling=start)                                                    # Initiate sampling

trace = pm.sample(20000, step, start=start, progressbar=False)

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# Print summary to screen
pm.summary(trace)

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Output on screen:

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Applied interval-transform to sigma_a and added transformed sigma_a_interval to model.

sigma_a_interval:

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Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
-5.202           0.268            0.003            [-5.716, -4.660]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
-5.684         -5.388         -5.223         -5.035         -4.612

beta1:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
0.966            0.187            0.006            [0.592, 1.331]

â€‹

Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
0.579          0.852          0.969          1.088          1.322

beta2:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
0.214            0.052            0.001            [0.115, 0.315]

â€‹

Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
0.113          0.179          0.214          0.249          0.315

beta3:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
-0.742           0.053            0.000            [-0.846, -0.638]

â€‹

Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
-0.847         -0.779         -0.742         -0.707         -0.639

a_param:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
0.373            0.187            0.006            [0.008, 0.755]
0.346            0.187            0.006            [-0.015, 0.732]
0.147            0.188            0.006            [-0.219, 0.531]
-1.117           0.199            0.006            [-1.518, -0.726]
0.152            0.187            0.006            [-0.206, 0.542]
-0.268           0.189            0.006            [-0.634, 0.125]
0.192            0.188            0.006            [-0.173, 0.580]
0.471            0.186            0.006            [0.106, 0.846]
0.122            0.188            0.006            [-0.241, 0.509]
-0.446           0.192            0.006            [-0.827, -0.063]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
0.014          0.252          0.371          0.489          0.761
-0.012         0.225          0.344          0.462          0.736
-0.216         0.025          0.144          0.262          0.537
-1.514         -1.242         -1.118         -0.988         -0.721
-0.208         0.031          0.149          0.268          0.540
-0.634         -0.389         -0.270         -0.150         0.125
-0.173         0.070          0.190          0.307          0.581
0.116          0.352          0.468          0.585          0.860
-0.238         0.000          0.121          0.238          0.514
-0.817         -0.572         -0.447         -0.326         -0.052

sigma_a:

Mean             SD               MC Error         95% HPD interval
-------------------------------------------------------------------
0.568            0.164            0.002            [0.310, 0.900]

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Posterior quantiles:
2.5            25             50             75             97.5
|--------------|==============|==============|--------------|
0.339          0.455          0.536          0.646          0.983

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